Einfache Epidemie-Modelle

Heute will ich auf die Parameter des Modells eingehen und wie sie bestimmt wurden.

Verfahren

Die meisten Parameter werden durch Anpassung an die Fallzahlen des RKI bestimmt. Aus den täglich erneuerten Tabellen--Files Lassen sich die gemeldeten Fallzahlen ablesen. Deren kumulative Aufsummierung ergibt eine mit der Zeit monoton steigende Reihe von Zahlen. Um diese mit dem Modell vergleichen zu können, berechne ich eine zusätzliche Funktion K, die kumulative Zahl der erkannten Kranken. Ihre Ableitung ist der positive Term in der Ableitung von Q

dK/dt = I₁/γ₁.

das Modell wird mit verschiedenen Parametersätzen berechnet und jeweils SSR, sum of squared residuals , gebildet, durch Berechnung der tägllchen Differenz zwischen K und den Daten des RKI. SSR ist eine Bewertung des Parametersatzes. Man versucht SSR zu minimieren und durch Wahl eines geeigneten Parametersatzes "das Modell an die Daten zu fitten".

Ich habe mir durch Variation der Parameter nach subjektiver Überlegung einen Eindruck verschafft von der Wirkung der Parameter auf die Kurve K(t) und ihre Abweichung von den Daten. Wenn ich eine halbwegs passable Anpassung erreicht hatte, habe ich mathematische Methoden (Least Squares ) zum lokalen Feintuning benutzt.

q

q bedeutet den Anteil (0 ≤ q ≤ 1) an Erkrankten, die vom Gesundheitssystem isoliert werden. Mit der Parameteranpassung hatte ich hier keinen Erfolg. Es schien, dass der Parameter geringen Einfluss hatte und deshalb aus diesen Fallzahlen nicht abgelesen werden kann.

Ich habe angenommen dass fast alle Fälle symptomatisch werden und dass Deutschland effektiv im Testen solcher Patienten ist. Außerdem werden Fälle erkannt bevor sie Symptome zeigen, weil Kontakte zurückverfolgt werden. Das entspricht, meine ich, einem

q = 0.8

R₀

soll die Zahl an Ansteckungen sein, die von einem Infizierten ausgeht, der in eine Population von ansteckbaren kommt. Der Parameter im Modell hat diese Eigenschaft: in der Gleichung für dS/dt kann man für diese Überlegung die beiden Klassen der Infektösen zusammenfassen, I = I₁ + I₂. Diese Zahl repräsentiert in der Gleichung die Zahl derer von denen Infektionen ausgehen. Hier ist I = 1 zu setzen, denn es geht nur um eine Person. Ferner ist in der beschriebenen Situation S = N. Sei γ = γ₁ + γ₂ die Dauer der Infektiösität, dann bleibt

dS/dt = -R₀/γ,

eine Konstante. Wenn wir die von 0 bis γ integrieren kommt -R₀ heraus . Das Negative davon ist die Zahl der hier neu infizierten.

R₀ hat also eine reale Bedeutung. Man kann es z.B in isolierten Heimen beobachten, wo man Ansteckungsketten verfolgen kann. Es ist klar, dass R₀ nicht nur eine feststehende Eigenschaft des Erregers ist, sondern von Art und Häufigkeit von Kontakten abhängt.

Es liegt deshalb nahe, R₀ als zetlich veränderlich anzusehen. Die Abbildung zeigt anhand der Daten, dass ab Tagg 20 eine Veränderung im Sinne einer Abflachung eintritt. Ich habe für das Modell die Zeit in Intervalle zerlegt. Das erste umfasst die ersten 20 Tage und es folgen weitere, jeweils 10 Tage breit. In jedem Intervall kann anderer R₀--Wert benutzt werden. Geeignete Werte können durch automatische Optimierung gefunden werden, wenn die Länge der Datenreihen ausreicht.

I₀

Dieser Parameter hat schon einen Einfluss auf die Kurve K(t), das aber abhängig vom Parameter R₀ . Anscheinend konnte man über den einen wie den anderen eine Anpassung erreichen. Ich habe deshalb das Intervall 2.5 ≤ I₀ ≤ 4.5 in 50 Teilintervalle zerlegt und für jedes die drei R₀--Werte durch die Optimierungssoftware bestimmen lassen. Ich benutzte die Daten vom 17.4.20 und teilte die Zeit in drei Intervalle, t<20, 20≥t<30 und t≥30.

Man sieht hier für vorgegebene Werte von I₀ das Ergebnis der Optimierung der drei R₀--Werte für die drei Zeitintervalle. SSR zeigt ein deutliches Minimum bei

I₀ =3000.

Diesen Wert halte ich fest.

Und 1kg Fleisch gibt eine gute Suppe !