Einfache Epidemie-Modelle

Das neue Verfahren, das seit 22. Mai Standard ist,
wurde ein paar Tage zurück auf die am jeweilgen Tag aktuellen Daten angewandt. Es zeigt sich, dass im Verlauf der Zeit leicht unterschiedliche Rₜ geschätzt werden.

	Datenstand vom
ab	20.05.	21.05.	22.05.	23.05.	24.05.
19.2.	2.33	2.58	2.42	2.51	2.30
29.2.	5.51	5.06	5.28	5.17	5.57
10.3.	1.19	1.26	1.29	1.25	1.19
20.3.	0.84	0.82	0.80	0.81	0.83
30.3.	0.65	0.64	0.66	0.67	0.68
9.4.	0.51	0.53	0.50	0.48	0.46
19.4.	0.61	0.58	0.62	0.64	0.65
29.4.	0.64	0.68	0.64	0.64	0.63
9.5.	0.52	0.45	0.56	0.60	0.69

In der Tabelle is links das Zeitintervall angegeben, für das die Werte gelten sollen und dann nach rechts die Schätzungen anhand unterschiedlicher Datensätze. Eine gewisse Variabilität zeigen alle Werte, selbst für den März.

Das liegt wahrscheinlich daran, dass die Datensätze auch für März und April noch ziemlich in Bewegung sind. Es könnte sich darum handeln, dass noch nach vielen Wochen der Beginn einer Erkrankung in den Meldedaten nachgetragen wird.

Ich habe jetzt den Eindruck, dass für die letzten 6 Wochen ein konstanter Rₜ von 0,6 das Geschehen gut zusammenfassen würde. Kein Grund zur Aufregung von hier aus.

Mit Hilfe des Modells m/b kann ich Rₜ-Werte finden, die an die Anzahl der bestätigten Infektionen angepasst sind, in dem Sinne, dass das Modell, wenn diese Werte als Parameter gesetzt werden, die Daten gut simuliert.

Sind die so gefundenen Werte nun richtig? Ich habe bei zwei anerkannten Institutionen Rₜ als Zeitreihe gefunden

• beim RKI und zwar hier und
• beim HZI und zwar hier

Beim RKI habe ich den 7-Tages-R-Wert und beim HZI den Median der Varianten. Ich habe das dann zusammen mit meinen Ergebnissen dargestellt.

Alle drei Datenreihen zeigen die gleiche Tendenz an: hoch im März, abfallend im April. m/b liegt oft zwischen den beiden anderen. m/b liegt im April meist unter den anderen. Es muss aber im April Rₜ deutlich kleiner als 1,0 sein, da die Zahl der täglichen Neuerkrankungen schnell abnimmt.

Mir scheint, dass m/b nicht mehr von den Vergleichsquellen abweicht als diese untereinander.

Ist R₀ ein Warnzeichen für eine kommende Ansteckungswelle? Gibt es einen Schwellenwert? Ist es der Wert 1,00?

Ich habe dazu Szenarien gerechnet. Mit in diesem Blog präsentierten modifizierten SEIR-Modell, habe ich dabei von der aktuellen Epidemie in Deutschland abgesehen. Ziel ist die Erkundung von Eigenschaften der Modellstruktur.

Zunächst habe ich das Modell 50 Tage laufen lassen um einen Startpunkt oberhalb der x-Achse zu erreichen. Wo der genau liegt, hat anscheinend keinen Einfluss. Als Indikator der Belastung des Gesundheitssystems wähle ich die bestätigten Neuerkrankungen pro Tag.

Die Szenarios unterscheiden sich in dem angenommenen R₀ ab dem Tag 50.

Werte von 0,6 bis 1,4 führen zur Abnahme der Neuerkrankungen. Danach scheint es eine Art Schwelle zu geben. Bereits 1,6 führt zu einem steilen Anstieg.

Liegt also der Schwellenwert bei 1,5? In der öffentlichen Diskussion wird gesagt, der Schwellenwert läge bei 1,0. Man kann sehen, woher diese Aussage stammen könnte, wenn man ein einfaches SIR-Modell betrachtet. Hier gibt es nur Ansteckbare (S), Infizierte (I) und Genesene (R). Die Infizierten sind sofort ansteckend und bleiben es für 10 Tage. Aus der Differentialgleichung für I′ kann man dann sofort ablesen: aus R₀=1 folgt I′=0. Die Rechnung zeigt es auch:

Bei 1,0 bleibt die Anzahl der Neuerkrankungen konstant, darunter sinkt sie. Schon bei 1,2 steigt die Kurve steil an.

Aus meiner Sicht, kann man die Basisreproduktionszahl nur als Parameter eines bestimmten Modells interpretieren. Im Fall "meines" Modells liegt eine kritische Grenze bei 1,5. In anderen Modellen liegt sie bei 1,0. Welches Modell für eine Vorhersage besser geeignet ist, kann ich nicht entscheiden.

Vielleicht sollte der kritische Wert bei jedem Satz von R₀-Werten mit angegeben werden.

Nachtrag

Mir ist jetzt (12.5., 23 h) eingefallen, wie man den Unterschied zwischen den beiden Modellen einfach erklären kann.

In dem einfacheren SIR-Modell nehmen wir an, dass jeder Infizierte im 10 Tagen R₀ Infektionen erzeugt. Das sind sozusagen 100% Prozent Wirksamkeit.

Das SEIR hat den Mechanismus des Testens und Isolierens eingebaut. 6 Tage lang kann hier ein Infizierter andere ungehindert anstecken. Das sind bis dahin 60% Wirksamkeit. Dann werden 4/5 der Erkrankten vom Gesundheitssystem erkannt und isoliert. Es bleibt ein Rest von 1/5 über 4 Tage. Also kommen noch 8% dazu und wir haben 68% an infektiöser Wirksamkeit.

Es ist aber 100/68 = 1,47. Um also den "steady state" zu erreichen, der beim einfachen Modell R₀=1
entspricht können bei komplexeren Modell 1,47 Personen angesteckt werden, Das ist sehr genau der Faktor, den ich beim Probieren mit den numerischen Lösungen gefunden hatte.

Ich könnte nun also alle meine R₀ um diesen Faktor reduzieren. Das würde der Sache aber auch nicht gerecht. Die 0.47 extra sind ja Leute, die tatsächlich krank werden.